Задание на контрольную работу

Для задач №1 и №2:

А. построить дискретный и интервальный вариационные ряды соответственно.

Б. Для задачи №1 построить полигон и кумулятивную кривую. Для задачи № 2 построить гистограмму и кумулятивную кривую;

В. Определить числовые характеристики выборки:

• Выборочную среднюю
• Выборочную геометрическую
• Моду
• Медиану
• Вариационный размах
• Выборочную дисперсию
• Выборочное стандартное отклонение
• Коэффициент вариации
• Асимметрию и коэффициент асимметрии
• Эксцесс и коэффициент эксцесса

Из таблиц выбрать три строки, соответствующие трем последним цифрам зачетки. Если цифры повторяются, то каждую повторяющуюся цифру увеличить соответственно на 1. Например, если три последние цифры зачетки равны 555, то из таблиц следует выбрать строки под номерами 5, 6, 7.

Задача №1

Требуется выявить картину успеваемости студентов, сдавших экзамен по курсу "Математическая статистика". На курсе 100 человек. В результате изучения отчетных документов была составлена следующая таблица оценок, полученных студентами по факультету (в порядке алфавитного списка студентов):

Задача №2

Студенты некоторого факультета, состоящего из 100 человек, написали выпускную контрольную работу. Каждый студент набрал определенное количество баллов. Приведем эти баллы (в порядке алфавитного списка студентов):

Равномерное распределение

2.1. Плотность равномерного распределения сохраняет в интервале (а, b) постоянное значение, равное С; вне этого интервала f ( x )=0. Найти значение постоянного параметра С.

2.2. Закон равномерного распределения задан плот­ностью вероятности f ( x )=1/( b —а) в интервале (а, b); вне этого интервала f ( x )=0. Найти функцию распределения F (х).

2.3. Найти математическое ожидание случайной вели­чины X, равномерно распределенной в интервале (а, b).

2.4. Найти математическое ожидание случайной вели­чины, X, распределенной равномерно в интервале (2, 8).

2.5. Найти дисперсию и стандартное откло­нение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (a, b).

2.6. Найти дисперсию и стандартное откло­нение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2, 8).

2.7. Равномерно распределенная случайная величина Х задана плотностью распределения f(x)= 1/(2l ) в интервале (а-1, а+l); вне этого интервала f ( x )=0. Найти математическое ожидание и дисперсию X.

2.8. Диаметр круга х измерен приближенно, причем а<x<b. Рассматривая диаметр как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале {а, b), найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.

2.9. Ребро куба х измерено приближённо, причём a < x < b . Рассматривая ребро куба как случайную величину Х, распределённую равномерно в интервале ( a , b ), найти математическое ожидание и дисперсию объёма куба.

2.10. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

Нормальное распределение

3.1. Математическое ожидание и стандартное отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероят­ность того, что в результате испытания Х примет значе­ние, заключенное в интервале (12, 14).

3.2. Математическое ожидание и стандартное отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероят­ность того, что в результате испытания Х примет значе­ние, заключенное в интервале (15, 25).

3.3. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена нормально с математи­ческим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фак­тически длина изготовленных деталей не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали больше 55 мм.

3.4. Производится измерение диаметра вала без си­стематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения Х подчинены нормальному закону со стандартным отклонением 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не пре­восходящей по абсолютной величине 15 мм.

3.5. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально со стандартным отклонением 0.4 мм. Найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.

3.6. Деталь, изготовленная автоматом, считается год­ной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нор­мальному закону со стандартным отклонением 5 мм и математическим ожиданием a=0. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

3.7. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием a=10. Вероятность попада­ния Х в интервал (10, 20) равна 0,3. Чему равна веро­ятность попадания Х в интервал (0, 10)?

3.8. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием a=25. Вероятность попа­дания Х в интервал (10, 15) равна 0,2. Чему равна веро­ятность попадания Х в интервал (35, 40)?

3.9. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием a=10 и стандартным отклонением 5. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в кото­рый с вероятностью 0,9973 попадет величина Х в результате испытания.

3.10. Случайная величина Х распределена нормально со стандартным отклонением 5 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математи­ческого ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет Х в результате испытания.

Показательное распределение и его числовые характеристики

4.1. Непрерывная случайная величина Х распреде­лена по показательному закону, заданному плотностью вероятности f(x)=3exp(-3x) при x>0 ; f(x)=0 при x<0 . Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в интервал (0.13, 0.7).

4.2. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному при X>0 плотностью распределения f(x)=0.04exp(-0.04x); при X<0 функцией f(x)=0. Найти вероятность того, что в резуль­тате испытания Х попадает в интервал (1, 2).

4.3. Непрерывная случайная величина Х распреде­лена по показательному закону, заданному функцией распределения F(x)=1-exp(-0.06x) при x>0; при x<0 f(x)=0. Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадет в интервал (2, 5).

4.4. Найти математическое ожидание показательного распределения

f(x)=Aexp(-Ax) при x>0 ; f(x)=0 при x<0 .

4.5. Найти математическое ожидание показательного распределения, заданного при x>0 : а) плотностью f(x)=5exp(-5x); б) функцией распределения F(x)=1-exp(-0.01x).

4.6. Найти: а) дисперсию; б) стандартное отклонение показательного распределения, заданного плотностью вероятности f(x)=Aexp(-Ax): при x>0 ; f(x)=0 при x<0 .

4.7. Найти дисперсию и стандартное от­клонение показательного распределения, заданного плот­ностью вероятности f(x)=10exp(-10x) при x>0 .

4.8. Найти дисперсию и стандартное от­клонение показательного закона, заданного функцией распределения F(x)=1-exp(-0.4x). при x>0.

4.9. Студент помнит, что плотность показательного распределения имеет вид f(x)=0 при x<0, f(x)=Cexp(-Ax)при x>0 ; однако он забыл, чему равна постоянная С. Требуется найти С.

4.10. На шоссе установлен контрольный пункт для проверки технического состояния автомобилей. Найти математическое ожидание и стандартное от­клонение случайной величины Т - времени ожидания очередной машины контролером, если поток машин про­стейший и время (в часах) между прохождениями машин через контрольный пункт распределено по показатель­ному закону f(x)=5exp(-5x).

Интервальный метод оценок статистических характеристик генеральной совокупности

5.1. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания a нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если известны генеральное стандартное отклонение б, выборочная средняя Хср и объем выборки n: а) б=4, Хср=10.2, n=16; б) б=5, Хср=16.8 , n=25 .

5.2. Одним и тем же прибором со стандартным отклонением случайных ошибок измерений б=40м произведено пять равноточных измерений рас­стояния от орудия до цели. Найти доверительный интер­вал для оценки истинного расстояния а до цели с на­дежностью у=0.95, зная среднее арифметическое результатов измерений Хср м. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

5.3. Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы выборка оказалась равной 1000 ч. Найти с надеж­ностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности а горения лампы всей партии, если известно, что стандартное отклонение продолжительности горения лампы б=40 ч. Предполагается, что продолжительность горения ламп распределена нормально.

5.4. Станок-автомат штампует валики. По выборке объема n=100 вычислена выборочная средняя диаметров изготовленных валиков. Найти с надежностью 0,95 точность, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание диаметров изготовляемых валиков, зная, что их стандартное отклонение б=2 мм. Предполагается, что диаметры валиков распределены нормально.

5.5. Найти минимальный объем выборки, при кото­ром с надежностью 0,975 точность оценки математиче­ского ожидания а генеральной совокупности по выбороч­ной средней равна 0.3, если известно стандартное отклонение б=1.2 нормально распределенной генеральной совокупности.

5.6. Найти минимальный объем выборки, при кото­ром с надежностью 0,925 точность оценки математиче­ского ожидания нормально распределенной генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,2, если известно стандартное отклонение генеральной совокупности б=1.5.

5.7. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=10:

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожида­ние а нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

5.8. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=12:

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание a нормально распределенного признака генеральной совокупности с помощью доверительного интервала.

5.9. По данным девяти независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений Хср и «исправленное» стандартное отклонение S*=6 . Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью Y=0.99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

5.10. По данным 16 независимых равноточных изме­рений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений Хср=42.8 и «исправленное» стандартное отклонение S*=8 . Оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью Y=0.999..

Проверка статистических гипотез  

6.1. Ваш друг утверждает, что он умеет различать на вкус два близких сорта вина если и не всегда, то хотя бы в четырех случаях из пяти. Вы же склонны считать, что он просто угадывает. Сформулируйте оба этих мнения в виде статистических гипотез и предложите какую-либо процедуру проверки. В чем состоят ошибки первого и второго рода?

6.2. Урна содержит большое количество белых и черных шаров, 100 раз производится следующее действие: из урны наугад достается шар, фиксируется его цвет, затем шар опускается обратно в урну, после чего шары перемешиваются. Оказалось, что 67 раз достали белый шар. 33 раза - черный. Можно ли на 5%-м уровне значимости принять гипотезу о том, что доля белых шаров в урне составляет 0,6?

6.3. Обычно применяемое лекарство снимает послеоперационные боли у 80% пациентов. Новое лекарство, применяемое для тех же целей, помогло 90 пациентам из первых 100 оперированных. Мож­но ли на уровне значимости a = 0,05 считать, что новое лекарство лучше? А на уровне a = 0,01?

6.4. Игральный кубик бросили 60 раз, при этом числа 1, 2, 3, 4,5, 6 выпали соответственно 12, 9, 13, 11, 8, 7 раз. Можно ли на 5%- м уровне значимости отвергнуть гипотезу о симметричности кубика?

6.5. Трое рабочих работают на трех одинаковых станках. В конце смены первый рабочий изготовил 60 деталей, второй - 80, третий -100 деталей. Можно ли на уровне значимости a= 0,01 принять гипотезу о том, что производительности труда первых двух рабочих равны между собой и в 2 раза меньше производительности третьего рабочего?

6.6. Используя критерий Пирсона при уровне значимости 0.05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Х с эмпирическим распределением выборки объема n= 200:

 6.7. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0.01 установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими частотами ni и теоретическими частотами ni' , которые вычислены, исходя из гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности Х:

 6.8. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0.05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Х с эмпирическим распределением выборки объема n=100:

6.9. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0.05 установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими частотами ni итеоретическими частотами ni' , которые вычислены, исходя из гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности Х: